Головна >> лекції >> аналітична геометрія >> Основні властивості векторів

Визначення Впорядковану сукупність (x1, x2, ..., xn) n дійсних чисел називають n-мірним вектором, а числа xi (i = ) - компонентами, або координатами, вектора.

Приклад. Якщо, наприклад, деякий автомобільний завод повинен випустити в зміну 50 легкових автомобілів, 100 вантажних, 10 автобусів, 50 комплектів запчастин для легкових автомобілів і 150 комплектів для вантажних автомобілів і автобусів, то виробничу програму цього заводу можна записати у вигляді вектора (50, 100 , 10, 50, 150), що має п'ять компонент.

Позначення. Вектори позначають жирними маленькими літерами або буквами з межею або стрілкою нагорі, наприклад, a або . Два вектора називаються рівними, якщо вони мають однакове число компонент і їх відповідні компоненти рівні.

Компоненти вектора можна міняти місцями, наприклад, (3, 2, 5, 0, 1) і (2, 3, 5, 0, 1) різні вектора.
Операції над векторами. Твором вектора x = (x1, x2, ..., xn) на дійсне число λ називається вектор λ x = (λ x1, λ x2, ..., λ xn).

Сумою векторів x = (x1, x2, ..., xn) і y = (y1, y2, ..., yn) називається вектор x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., x n + + yn).

Простір векторів. N - мірне векторний простір R n визначається як безліч всіх n-мірних векторів, для яких визначені операції множення на дійсні числа і складання.

Економічна ілюстрація. Економічна ілюстрація n-мірного векторного простору: простір благ (товарів). Під товаром ми будемо розуміти деякий благо або послугу, що надійшли в продаж в певний час в певному місці. Припустимо, що існує кінцеве число наявних товарів n; кількості кожного з них, придбані споживачем, характеризуються набором товарів

x = (x1, x2, ..., xn),

де через xi позначається кількість i-го блага, набутого споживачем. Будемо вважати, що всі товари мають властивість довільної подільності, так що може бути куплено будь невід'ємне кількість кожного з них. Тоді всі можливі набори товарів є векторами простору товарів C = {x = (x1, x2, ..., xn) xi ≥ 0, i = }.

Лінійна незалежність. Система e 1, e 2, ..., e m n-мірних векторів називається лінійно залежною, якщо знайдуться такі числа λ 1, λ 2, ..., λ m, з яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... + λ m e m = 0; в іншому випадку дана система векторів називається лінійно незалежної, тобто вказане рівність можливе лише в разі, коли всі . Геометричний сенс лінійної залежності векторів в R 3, інтерпретованих як спрямовані відтинки, пояснюють такі теореми.

Теорема 1. Система, що складається з одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульової.

Теорема 2. Для того, щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні (паралельні).

Теорема 3. Для того, щоб три вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарність (лежали в одній площині).

Права та ліва трійки векторів. Трійка некомпланарних векторів a, b, c називається правою, якщо спостерігачу з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, c в зазначеному порядку здається совершающимся за годинниковою стрілкою. B іншому випадку a, b, c - ліва трійка. Всі праві (чи ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

Базис і координати. Трійка e 1, e 2, e 3 некомпланарних векторів в R 3 називається базисом, а самі вектори e 1, e 2, e 3 - базисними. Будь-вектор a може бути єдиним чином розкладений по базисних векторах, тобто представлений у вигляді

а = x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3, (1.1)

числа x1, x2, x3 в розкладанні (1.1) називаються координатами вектора a в базисі e 1, e 2, e 3 і позначаються a (x1, x2, x3).

Ортонормованій базис. Якщо вектори e 1, e 2, e 3 попарно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює одиниці, то базис називається ортонормованим, а координати x1, x2, x3 - прямокутними. Базисні вектори ортонормированного базису будемо позначати i, j, k.

Будемо припускати, що в просторі R 3 вибрано права система декартових прямокутних координат {0, i, j, k}.

Векторний витвір. Векторним твором вектора а на вектор b називається вектор c, який визначається наступними трьома умовами:

1. Довжина вектора c чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b, т. Е.
c = | a || b | sin (a ^ b).

2. Вектор c перпендикулярний до кожного з векторів a і b.

3. Вектори a, b і c, взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку.

Для векторного твори c вводиться позначення c = [ab] або
c = a × b.

Якщо вектори a і b колінеарні, то sin (a ^ b) = 0 і [ab] = 0, зокрема, [aa] = 0. Векторні твори ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki ] = j.

Якщо вектори a і b задані в базисі i, j, k координатами a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3), то

Змішане твір. Якщо векторний добуток двох векторів а і b скалярноумножается на третій вектор c, то такий твір трьох векторів називається змішаним твором і позначається символом a b c.

Якщо вектори a, b і c в базисі i, j, k задані своїми координатами
a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3), c (c1, c2, c3), то

.

Змішане твір має просте геометричне тлумачення - це скаляр, по абсолютній величині дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на трьох даних векторах.

Якщо вектори утворюють праву трійку, то їх змішане твір є число позитивне, рівне вказаного об'єму; якщо ж трійка a, b, c - ліва, то abc <0 і V = - abc, отже V = | abc | .

Координати векторів, що зустрічаються в задачах першого розділу, передбачаються заданими щодо правого ортонормированного базису. Одиничний вектор, сонаправленнимі вектору а, позначається символом а о. Символом r = ОМ позначається радіус-вектор точки М, символами а, АВ або | а | , | АВ | позначаються модулі векторів а і АВ.

Приклад 1.2. Знайдіть кут між векторами a = 2 m +4 n і b = mn, де m і n - одиничні вектори і кут між m і n дорівнює 120о.

Рішення. Маємо: cos φ = ab / ab, ab = (2 m +4 n) (mn) = 2 m 2 - 4 n 2 +2 mn =
= 2 - 4 + 2cos120o = - 2 + 2 (-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2 m +4 n) (2 m +4 n) =
= 4 m 2 +16 mn +16 n 2 = 4 + 16 (-0.5) + 16 = 12, значить a = . b = ; b 2 =
= (Mn) (mn) = m 2 -2 mn + n 2 = 1-2 (-0.5) +1 = 3, отже b = . Остаточно маємо: cos φ = = -1/2, φ = 120o.

Приклад 1.3. Знаючи вектори AB (-3, -2,6) і BC (-2,4,4), обчисліть довжину висоти AD трикутника ABC.

Рішення. Позначаючи площа трикутника ABC через S, отримаємо:
S = 1/2 BC AD. Тоді AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB × AC | . AC = AB + BC, значить, вектор AC має координати
.

= -16 (2 + ). | AB × AC | = = 16 ; S = 8 , звідки
AD = = .

Приклад 1.4. Дано два вектора a (11,10,2) і b (4,0,3). Знайдіть одиничний вектор c, ортогональний векторам a і b і спрямований так, щоб впорядкована трійка векторів a, b, c була правою.

Рішення. Позначимо координати вектора c щодо даного правого ортонормированного базису через x, y, z.

Оскільки c ⊥ a, c ⊥ b, то ca = 0, cb = 0. За умовами задачі потрібно, щоб c = 1 і abc> 0.

Маємо систему рівнянь для знаходження x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x2 + y2 + z2 = 0.

З першого і другого рівнянь системи отримаємо z = -4/3 x, y = -5/6 x. Підставляючи y і z в третє рівняння, матимемо: x2 = 36/125, звідки
x = ± . Використовуючи умову abc> 0, отримаємо нерівність

З урахуванням виразів для z і y перепишемо отримане нерівність у вигляді: 625/6 x> 0, звідки випливає, що x> 0. Отже, x = , Y = - , Z = - .

Автор: Степанов Володимир
Про автора