1. спільне розподіл
2. Типи багатовимірних розподілів

Анотація: Спільні розподілу двох і більше випадкових величин. Функція розподілу випадкового вектора. Дискретні і абсолютно безперервні спільні розподілу. Зв'язок щільності спільного розподілу і маргінальних щільності. Роль спільного розподілу. Незалежність випадкових величин

спільне розподіл

Нехай випадкові величини задані на одному імовірнісний просторі .

Визначення 28. функція

називається функцією розподілу вектора або функцією спільного розподілу випадкових величин .

Перерахуємо властивості функції спільного розподілу. Для простоти позначень обмежимося вектором з двох величин.

(F0) Для будь-яких вірно нерівність: .

(F1) не убуває по кожній координаті вектора .

(F2) Для будь-якого існує . Існує подвійний межа .

(F3) Функція по кожній координаті вектора неперервна зліва.

(F4) Щоб по функції спільного розподілу відновити функції розподілу і в окремо, слід спрямувати заважає змінну до :

Доказ всіх цих властивостей абсолютно аналогічно одновимірному випадку. Але тепер властивостей (F0) - (F3) не вистачає для опису класу функцій спільного розподілу. Інакше кажучи, виконання цих властивостей для деякої функції не гарантує, що ця функція є функцією розподілу деякого випадкового вектора.

Вправа. Довести, що функція

задовольняє всім властивостям (F0) - (F3), але не є функцією розподілу ніякого вектора хоча б тому, що, знайдися такий вектор, знайдеться і прямокутник , "Ймовірність" потрапити в який (обчислена за допомогою цієї нібито "функції розподілу") негативна: .

Легко переконатися, що ймовірність вектору потрапити в прямокутник по функції розподілу цього вектора обчислюється так: .

Додатково до властивостей (F0) - (F3) від функції вимагають невід'ємності цього виразу (при будь-яких , ).

Типи багатовимірних розподілів

Обмежимося розглядом двох типових випадків: коли спільний розподіл координат випадкового вектора або дискретно, або абсолютно безперервно. Зауважимо, що сингулярні спільні розподілу теж не є рідкістю, на відміну від одновимірного випадку: чи варто кинути точку навмання на відрізок на площині, і ми отримаємо сингулярне спільний розподіл (довести).

Визначення 29. випадкові величини , мають дискретне спільний розподіл, якщо існує кінцевий або рахунковий набір пар чисел такий, що

Таблицю, на перетині го рядка і -го стовпця якої варто ймовірність , Називають таблицею спільного розподілу випадкових величин і .

Таблиці розподілу кожної з випадкових величин , окремо (таблиці приватних, або маргінальних розподілів) відновлюються по таблиці спільного розподілу за допомогою формул

Так, перша рівність випливає з того, що набір , , є повна група подій, і тому подія розкладається в об'єднання попарно несумісних подій:

Визначення 30. випадкові величини , мають абсолютно безперервне спільний розподіл, якщо існує невід'ємна функція така, що для будь-якого безлічі має місце рівність

Якщо така функція існує, вона називається щільністю спільного розподілу випадкових величин .

Досить, якщо подвійний інтеграл по безлічі читач розумітиме як обсяг області під графіком функції над безліччю в площині змінних , Як показано на Мал. 8.1 .

Щільність спільного розподілу має такі ж властивості, як і щільність розподілу однієї випадкової величини:

(F1) неотрицательность: для будь-яких

(F2) нормированность:

Справедливо і зворотне: будь-яка функція, що володіє цими властивостями, є щільністю деякого спільного розподілу. Доказ цього факту нічим не відрізняється від одновимірного випадку.

Якщо випадкові величини , мають абсолютно безперервне спільний розподіл, то для будь-яких має місце рівність

Якщо спільний розподіл абсолютно безперервно, то по функції спільного розподілу його щільність знаходиться як мішана похідна: для майже всіх .

З існування щільності і не слід абсолютна безперервність спільного розподілу цих випадкових величин. Наприклад, вектор приймає значення тільки на діагоналі в і вже тому не має щільності розподілу (його розподіл сингулярно). Зворотне ж властивість, як показує наступна теорема, завжди вірно: якщо спільний розподіл абсолютно безперервно, то і приватні розподілу теж такі.

Теорема 24. Якщо випадкові величини і мають абсолютно безперервне спільний розподіл з щільністю , то і окремо також мають абсолютно неперервний розподіл з густиною:

для щільності випадкових величин по щільності їх спільного розподілу знаходяться інтеграцією функції за всіма "зайвим" координатами.

Доказ. Наприклад, в силу рівності (14),

Аналогічно встановлюється і справедливість другого рівності.