1. 2.2. Моделювання за схемою безперервних марковських процесів Існує широкий клас систем, які змінюють...

2.2. Моделювання за схемою безперервних марковських процесів

Існує широкий клас систем, які змінюють свої статки в випадкові моменти часу . Як і в попередньому випадку, в цих системах розглядається процес з дискретними станами . Наприклад, перехід об'єкта від справного стану до несправного, співвідношення сил сторін в ході бою і т. П. Оцінка ефективності таких систем визначається за допомогою ймовірностей кожного стану на будь-який момент часу , .

Щоб визначити ймовірності стану системи для будь-якого моменту часу необхідно скористатися математичними моделями марковських процесів з безперервним часом (безперервних марковських процесів).

При моделюванні стану систем з безперервними марковскими процесами ми вже не можемо скористатися перехідними ймовірностями , Тому що ймовірність "перескоку" системи з одного стану в інший точно в момент часу дорівнює нулю (як ймовірність будь-якого окремого значення неперервної випадкової величини).

Тому замість перехідних ймовірностей вводяться в розгляд щільності ймовірностей переходів :

де - ймовірність того, що система, яка перебувала в момент часу в стані за час перейде в стан .

З точністю до нескінченно малих другого порядку з наведеної формули можна уявити:

Безперервний марковский процес називається однорідним, якщо щільності ймовірностей переходів не залежать від часу (Від моменту початку проміжку ). В іншому випадку безперервний марковский процес називається неоднорідним.

Метою моделювання, як і в разі дискретних процесів, є визначення ймовірностей станів системи . Ці ймовірності знаходяться інтеграцією системи диференціальних рівнянь Колмогорова.

Сформулюємо методику моделювання за схемою безперервних марковських процесів.

1. Визначити стану системи і щільності ймовірностей переходів .
2. Скласти і розмітити граф станів.
3. Скласти систему диференціальних рівнянь Колмогорова. Число рівнянь в системі дорівнює числу станів. Кожне рівняння формується таким чином.
4. B лівій частині рівняння записується похідна ймовірності -го стані .
5. У правій частині записується алгебраїчна сума добутків і . Число творів стільки, скільки стрілок пов'язано з даними станом. Якщо стрілка графа спрямована в даний стан, то відповідний твір має знак плюс, якщо з даного стану - мінус.
6. Визначити початкові умови і вирішити систему диференціальних рівнянь.

Приклад 2.2. Скласти систему диференціальних рівнянь Колмогорова для знаходження ймовірностей станів системи, розмічений граф станів якої представлений на Мал. 2.3 .

Мал.2.3.

Розмічений граф станів

Рішення

очевидно, .

Тому будь-яка з перших трьох рівнянь можна виключити, як лінійно залежне.

Для вирішення рівнянь Колмогорова необхідно задати початкові умови. Для розглянутого прикладу 2.2, можна задати такі початкові умови: , .

Однорідний марковский процес з безперервним часом можна трактувати як процес зміни станів під впливом деякого потоку подій. Тобто щільність ймовірності переходу можна трактувати як інтенсивність потоку подій, що переводять систему з -го стану в -е. Такими потоками подій є відмови техніки, виклики на телефонній станції, народження і т. П.

При дослідженні складних об'єктів завжди цікавить: чи можливий в досліджуваній системі усталеною (стаціонарний) режим? Тобто, як поводиться система при ? Чи існують граничні значення ? Як правило, саме ці граничні значення цікавлять дослідника.

Відповідь на це питання дає теорема Маркова.

Якщо для однорідного дискретного марківського процесу з кінцевим або рахунковим числом станів все , То граничні значення існують і їх значення не залежать від обраного початкового стану системи.

Стосовно до безперервним марковским процесам теорема Маркова трактується так: якщо процес однорідний і з кожного стану можливий перехід за кінцеве час в будь-який інший стан і число станів лічильно або звичайно, то граничні значення існують і їх значення не залежать від обраного початкового стану.

наприклад ( Мал. 2.4 ), В системі А стаціонарний режим є, а в системі В стаціонарного режиму немає: якщо система виявиться в стані вона не зможе перейти ні в який інший стан.

2.3. Схема загибелі і розмноження

Часто в системах самого різного призначення протікають процеси, які можна представити у вигляді моделі "загибелі і розмноження".

Граф станів такого процесу показаний на Мал. 2.5 .

Особливістю моделі є наявність прямого і зворотного зв'язків з кожним сусіднім станом для всіх середніх станів; перше і останнє (крайні) стану пов'язані тільки з одним "сусідом" (з подальшим і попереднім станами відповідно).

Назва моделі - "загибель і розмноження" - пов'язане з поданням, що стрілки вправо означають перехід до станів, пов'язаних з ростом номера стану ( "народження"), а стрілки вліво - до убування номера станів ( "загибель").

Очевидно, стаціонарний стан в цьому процесі існує. Складати рівняння Колмогорова немає необхідності, так як структура регулярна, необхідні формули наводяться в довідниках, а також в рекомендованій літературі.

Для наведених на Мал. 2.5 позначень формули мають вигляд:

Приклад 2.3. Є система з двох однакових і працюють паралельно комп'ютерів.

Потрібно визначити надежностние характеристики цієї системи.

Рішення

У цій системі можливі три стану:

- обидва комп'ютера справні;

- один комп'ютер справний, інший ремонтується;

- обидва комп'ютера несправні і ремонтуються. Будемо вважати, що процеси відмов і відновлень - однорідні марковские, одночасний вихід з ладу обох комп'ютерів, як і одночасне відновлення двох відмовили комп'ютерів практично неможливо.

Оскільки комп'ютери однакові, то з точки зору надійності, неважливо, який саме комп'ютер несправний в стані , Важливо, що один.

З урахуванням сказаного, ситуація моделюється схемою "загибелі і розмноження" ( Мал. 2.6 ).

на Мал. 2.6 :

, - інтенсивності потоків відмов;

, - інтенсивності потоків відновлень.

Нехай середній час безвідмовної роботи кожного комп'ютера , А середній час відновлення одного комп'ютера .

Тоді інтенсивність відмов одного комп'ютера буде дорівнює , А інтенсивність відновлення одного комп'ютера - .

В стані працюють обидва комп'ютера, отже:

В стані працює один комп'ютер, значить:

В стані відновлюється один комп'ютер, тоді:

В стані відновлюються обидва комп'ютера:

Використовуємо залежності (2.2). Імовірність стану, коли обидві машини справні:

Вірогідність другого стану (Працює один комп'ютер):

Аналогічно обчислюється і . хоча знайти можна і так:

Приклад 2.4. У смузі об'єднання працюють передавачі противника. Підрозділ операторів-зв'язківців армійської контррозвідки веде пошук передавачів по їх радіовипромінювання. Кожен оператор, виявивши передавач противника, стежить за його частотою, при цьому новим пошуком не займається. У процесі спостереження частота може бути втрачена, після чого оператор знову здійснює пошук.

Розробити математичну модель для визначення ефективності служби підрозділи операторів. Під ефективністю розуміється середнє число виявлених передавачів за встановлений проміжок часу.

Рішення

Будемо вважати, що наші оператори і радисти противника мають високу кваліфікацію, добре натреновані. Отже, можна прийняти, що інтенсивності виявлення частот передавачів противника і втрат стеження - постійні. Виявлення частоти і її втрата залежать тільки від того, скільки запеленгувати передавачів зараз і не залежать від того, коли відбулася ця пеленгування. Отже, процес виявлення і втрат стеження за частотами можна вважати безперервним однорідним марковским процесом.

Досліджуване властивість цієї системи пеленгації: завантаженість операторів, що, очевидно, збігається з числом виявлених частот.

Введемо позначення:

- кількість операторів;

- кількість передавачів противника, вважаємо ;

- середнє число операторів, що ведуть спостереження;

- середнє число запеленгованих передавачів;

- інтенсивність пеленгации передавача противника одним оператором;

- інтенсивність потоку втрат стеження оператором;

- поточна чисельність запеленгованих передавачів .

В системі пеленгації можливі наступні стани:

- запеленгованих передавачів немає, пошук ведуть операторів, ймовірність стану ;

- запеленгована 1 передавач, пошук ведуть операторів, ймовірність стану ;

- запеленговані 2 передавача, пошук ведуть операторів, ймовірність стану ;

...

- запеленговані передавачів, ймовірність ;

...

- запеленговані передавачів, ймовірність .

Мета моделювання - - досягається обчисленням:

Як і в прикладі 2.3 вважаємо, що одночасне виявлення або втрата двох і більше частот практично неможливо. Граф станів системи показаний на Мал. 2.7 .

Граф відповідає процесу "загибелі і розмноження", повнозв'язну, число станів системи звичайно, означає, сталий режим, і граничні значення ймовірностей в системі пеленгації існують.

Нехай, наприклад, кількість операторів , А кількість передавачів противника . В цьому випадку граф станів має вигляд ( Мал. 2.8 ):

Варіант графа станів системи пеленгації

Для спрощення обчислень приймемо . Тоді для цієї схеми "загибелі і розмноження" по залежностям (2.2) маємо:

остаточно:

Таким чином, в умовах даного прикладу в середньому будуть пеленгувати не менше двох передавачів противника.

Безперервний марковский процес повністю визначається значеннями щільності ймовірностей переходів , . Раніше було встановлено їх фізичний зміст як інтенсивності потоків подій, що переводять систему з одного стану в інший. Потік подій в однорідних неперервних марківських процесах характеризується експоненціальним законом розподілу випадкових інтервалів часу між подіями. Такий потік називають найпростішим або стаціонарним пуассоновским.

Найпростіший потік має властивості:

• стаціонарності, що означає незалежність характеристик потоку від часу;
• ординарности, що означає практичну неможливість появи двох і більше подій одночасно;
• відсутність післядії, про це йшлося на початку теми.