1. Паморочиться в голові або вся кімната?
2. Аналогічна ситуація в космосі
3. Закриємо поле зору
4. Пояснення ефекту Саньяка
5. Моделювання ефекту Саньяка за допомогою функціоналу модуля Геометрична Оптика
6. Застосування систем просторової орієнтації в літальних і космічних апаратах
7. висновок
8. подальші кроки
9. література

Система просторової орієнтації, яка вимірює орієнтацію і обертання об'єкта в тривимірному просторі, - ключовий компонент систем навігації літальних і космічних апаратів. В області точного вимірювання швидкості обертання кільцеві лазерні гіроскопи і волоконно-оптичні кільцеві гіроскопи останнім часом стали ефективною альтернативою радіціонний механічним гіроскопа. Робота цих пристроїв заснована на оптичному явищі, відомому як ефект Саньяка. У цій статті ми продемонструємо можливість чисельного моделювання цього ефекту в стандартному інтерферометрі Саньяка за допомогою технологій геометричної оптики.

Паморочиться в голові або вся кімната?

Одна з основних завдань будь-якої системи навігації - відстежувати стан і орієнтацію об'єкта в просторі, а також швидкості зміни цих величин. При цьому може вимагатися висока точність вимірювань (чутливість), особливо для космічних польотів. Наприклад, супутники зв'язку можуть бути чутливі до кутових швидкостей обертання в одну тисячну градуси на годину.

Хоча такі вимоги до точності можуть виглядати страшними, принципове завдання системи орієнтації формулюється просто: як визначити, наскільки швидко і навколо якої осі обертається система?

В принципі, це завдання нічим не відрізняється від завдання, яке вирішує спостерігач в будь-який обертається системі відліку, наприклад, гість обертового ресторану, представленого на фотографії нижче.

Фотографія обертового ресторану в готелі Ambassador, найстарішого обертового ресторану в Індії. Автор зображення - AryaSnow, власна робота. Доступно за ліцензією CC BY-SA 4.0 на Вікісховища .

Припустимо, що ви зайшли в такий ресторан, що обертається і хочете визначити швидкість його обертання Ω в радіанах в секунду.

Для цього найпростіше виглянути назовні. Виберіть нерухомий предмет - будинок або дерево - і стежте за тим, як з часом змінюється його положення в вашому полі зору.

На схемі вище показано положення дерева в полі зору спостерігача (наприклад, у вікні) в початковий момент часу t 1 і в більш пізній момент t 2. Нехай кут між двома напрямками становить θ (в радіанах). Якщо відстань до дерева дуже велика в порівнянні з розмірами ресторану, кутову швидкість можна оцінити як

\ Omega \ approx \ frac {\ theta} {t_2-t_1}

Аналогічна ситуація в космосі

Космічні польоти набагато складніше розібраного вище прикладу з рестораном, так що потрібно врахувати кілька принципових обмежень. Не дуже зрозуміло, які предмети в космосі можна назвати нерухомими. Наприклад, якщо використовувати для супутника на геостаціонарній орбіті датчик сонячної орієнтації, потрібно також враховувати відносне переміщення, оскільки Земля рухається по орбіті навколо Сонця. Точність зоряного датчика, з іншого боку, набагато вище, тому що всі інші зірки, крім Сонця, можна вважати для багатьох завдань нерухомими і тому що зірка більше схожа на точкове джерело світла, а не на джерело з кінцевими кутовими розмірами.

Через високі вимог точності до систем орієнтації і управління потрібно враховувати кінцевий розмір спостережуваних об'єктів. Якщо ви наводитеся на Сонце, важливо знати, на яку саме точку Сонця спрямований датчик. Щоб визначити швидкість довільного тривимірного обертання, потрібні щонайменше два об'єкти, тому що не завжди очевидно, як орієнтована вісь обертання.

Закриємо поле зору

Тепер подумки повернемося в ресторан і уявімо, що тепер всі вікна в ньому закриті. Чи не виглядав назовні, ми не можемо отримати інформацію про нашу обертається системі відліку, стежачи за нерухомими об'єктами зовні.

Проте, кутову швидкість обертається системи відліку можна визначити, провівши в ній кілька експериментів. Наприклад, можна покласти м'яч на підлогу і подивитися, покотиться чи він під дією відцентрової сили. (Для цього потрібно знати, де знаходиться вісь обертання, а в космічному польоті це не завжди очевидно!) Інший підхід - скористатися механічним гіроскопом .

Третій підхід, про який ми розповімо в наступному розділі, - використання унікальних властивостей світлових променів, а саме того факту, що у всіх системах відліку швидкість світла у вакуумі однакова. Коли світло поширюється в обертовій системі відліку, виникає так званий ефект Саньяка . На основі цього ефекту побудована робота кільцевого лазерного гіроскопа . Ці гіроскопи прийшли на заміну традиційним механічним гіроскопа з обертовими масами. У кільцевих лазерних гіроскопах немає обертових частин, що значно полегшує процес їх обслуговування та експлуатації.

Пояснення ефекту Саньяка

Щоб наочно уявити собі ефект Саньяка, давайте розглянемо два зустрічних світлових променя - тобто два променя, що поширюються в протилежних напрямках, - які рухаються по кільцю. Саме кільце обертається проти годинникової стрілки з постійною кутовою швидкістю Ω. В системі СІ кутову швидкість вимірюють в радіанах в секунду, але для систем інерціальної навігації частіше використовують градуси на годину.

У початковий момент часу два променя випускаються з точки P0 на кільці. Промені поширюються в обох напрямках по кільцю зі швидкістю світла, а точка випускання обертається разом з системою відліку. Коли промінь, що йде за годинниковою стрілкою, повернеться в початкову точку, він виявиться в новому положенні P1, пройшовши трохи менше повного обороту. Коли промінь, що йде проти годинникової стрілки, повернеться в початкову точку, він виявиться в іншому положенні P2, пройшовши більше одного повного обороту.

Зрозуміло, на ілюстрації різниця відстаней перебільшена. Насправді відстань від P1 і P2 до P0 (і між ними) може бути в 10 мільярдів разів менше! Незважаючи на це, настільки малі різниці відстаней і часу поширення променя можна виявити, оскільки їм відповідає зсув фази, і два променя утворюють картину інтерференції. Якщо ми позначимо різницю відстаней, пройдених променями, як Δ L, то

(1)

\ Delta L = \ frac {4 \ Omega A} {c_0}

де A - площа кільця, а c 0 = 299 792 458 м / с - швидкість світла у вакуумі.

виявляється, (1) вірно не тільки для кільцевих шляхів, а й для траєкторій іншої форми. Різниця оптичних шляхів залежить тільки від площі, обмеженій замкненій кривій, але не від її форми. Більш загальний висновок (1) заснований на загальній теорії відносності. По суті, ефект Саньяка - це релятивістське явище, але класичний висновок дає той же результат з точністю до першого порядку. Більш суворий підхід до теорії см. В [1] і [2] .

Моделювання ефекту Саньяка за допомогою функціоналу модуля Геометрична Оптика

Тепер давайте розберемо модель найпростішого інтерферометра Саньяка . Він працює на тому ж принципі, що і кільцевої лазерний гіроскоп, але його простіше дослідити, оскільки не потрібно враховувати поширення променів в генеруючої середовищі. (Крім посилення інтенсивності, яка генерує середовище може внести багато інших ускладнень, таких як ефекти дисперсії, які ми можемо проігнорувати для наочності в даній моделі.) Проте, інтерферометр Саньяка в поданої геометрії дає таку ж різниця оптичних шляхів і різниця фаз, як і кільцевої лазерний гіроскоп з тим же розташуванням дзеркал, так що на цій моделі ми можемо багато чому навчитися.

Простий интерферометр Саньяка складається з светоделітель, двох дзеркал і екрану, що поглинає вихідні промені. Він схематично зображено нижче.

Кілька параметрів геометрії цієї моделі наведені в таблиці нижче.

Назва Вираз Значення Опис λ0 Н / П 632,8 нм Довжина хвилі в вакуумі R Н / П 10 см Радіус кільця b b = R \ sqrt {3} 17,3 см Сторона трикутника P P = 3b 52,0 см Периметр трикутника A A = b ^ 2 \ sqrt {3} / 4 130 см2 Площа трикутника

Іноді интерферометр має не трикутну, а квадратну форму, де дзеркала розміщені в трьох вершинах квадрата, а светоделітель - в четвертій вершині. Промені поширюються по системі в напрямках, зазначених стрілками. Так як все пристрій обертається проти годинникової стрілки, промені, що рухаються проти годинникової стрілки, проходять трохи більшу відстань до екрану, ніж промені, що рухаються за годинниковою стрілкою.

Щоб краще собі уявити це явище, вивчіть дві анімовані ілюстрації нижче. (Не забудьте, що обертання тут перебільшено приблизно в десять мільярдів разів!)

На лівій анімації спостерігач знаходиться в інерціальній (неприскореної) системі відліку. Промені в ній поширюються по прямих лініях, але досягають дзеркал в різні моменти часу. На правій анимированной ілюстрації спостерігач знаходиться в космічному апараті і, таким чином, в неінерціальної системи відліку. (Строго кажучи, навіть в цій обертається системі відліку зустрічні промені рухаються з однаковою швидкістю - швидкість світла однакова у всіх системах відліку!)

Для геометричних параметрів, зазначених вище, розрахунок по (1) дає різницю оптичних шляхів зустрічних променів 8 × 10-16 м або 0,8 фемтометра. Цю величину, приблизно рівну радіусу протона, нелегко виміряти! Інтерферометри Саньяка і кільцеві лазерні гіроскопи зазвичай вимірюють оптичний шлях безпосередньо, а різниця частот або частоту биття Δν, яка дорівнює

(2)

\ Frac {\ Delta \ nu} {\ nu} = \ frac {\ Delta L} {L}

де ν - частота світлової хвилі в герцах, а L - довжина оптичного шляху для світлового променя, що ходять по трикутник по периметру.

Зверніть увагу, що довжина оптичного шляху L не обов'язково дорівнює довжині периметра, оскільки на шляху може виявитися генеруюча середа з показником заломлення n ≠ 1. У цьому прикладі ми припустимо, що в просторі між дзеркалами і светоделітель підтримується вакуум. Частота биття по порядку величини дорівнює 1 Гц, і її набагато простіше виміряти, ніж відстані порядку радіусу протона.

У цій моделі використовується інтерфейс Geometrical Optics (Геометрична оптика) для трасування променів в інтерферометрі Саньяка. Два дзеркала представляються спеціалізованим граничною умовою Mirror (Дзеркало) для імітації дзеркального відображення. Для светоделітель використовується гранична умова Material Discontinuity (Кордон розділу) із заданим користувачем коефіцієнтом відображення 0,5. Таким чином, два зустрічних променя мають однакові інтенсивності.

Для обертання пристрою використовується опція Rotating Domain (Обертається область), як показано нижче.

Отриманий графік показує, як два промені поширюються в обох напрямках через систему дзеркал. Так як дзеркала рухаються повільно в порівнянні зі швидкістю світла, на цьому графіку дві траєкторії відрізняються. Якби ми збільшили графік в 10 мільярдів разів, ми б змогли розрізнити невеликий зсув між двома трикутниками.

На наступній діаграмі показана залежність частоти биття від кутової швидкості інтерферометра. Як і випливає з (1) і (2) , Ця залежність лінійна. У лівому нижньому кутку графіка помітні деякі чисельні артефакти (помилки чисельних розрахунків). Вони виникають через кінцевої чисельної точності, що детально пояснено в документації до моделі.

Застосування систем просторової орієнтації в літальних і космічних апаратах

Описаний вище интерферометр Саньяка і інші пристрої, наприклад, кільцевої лазерний гіроскоп і волоконно-оптичний гіроскоп, є прикладами інерційних навігаційних систем, які визначають положення і орієнтацію об'єкта, виходячи з відомого початкового положення і інтегруючи поступальну і кутову швидкості за часом. На практиці інерціальні навігаційні системи зазвичай поєднують з вимірюванням абсолютного положення і орієнтації щодо іншого космічного об'єкта. Ці абсолютні вимірювання можна виконувати за допомогою датчика напрямку на Землю, на Сонце або зірку, радіочастотних маяків у відомих точках земної поверхні, вимірювань магнітного поля Землі або поєднань цих методів.

Неточність інерціальної навігаційної системи з часом накопичується через похибки вимірювання поступальної і кутовий швидкостей. Періодично виконуючи абсолютні вимірювання одним з описаних вище методів, цю неточність знижують до більш прийнятного рівня. Графік неточності в залежності від часу може виглядати приблизно так.

висновок

Ми продемонстрували можливість точного розрахунку ефекту Саньяка в простому інтерферометрі з використанням методик геометричній оптики. Отримана частота биття узгоджується з більш строгими висновками із загальної теорії відносності в разі, якщо швидкості всіх рухомих частин багато менше швидкості світла. Різниця оптичних шляхів в інтерферометрі Саньяка або в кільцевому лазерному інтерферометрі залежить тільки від площі, обмеженою зустрічними променями, але не від форми траєкторії.

подальші кроки

Натисніть кнопку нижче, щоб вивчити модель інтерферометра Саньяка. Перейшовши в Галерею додатків, ви можете увійти в обліковий запис COMSOL Access і завантажити MPH-файл моделі (потрібно діюча програмна ліцензія) і документацію до моделі.

література

1. Post, Evert J. "Sagnac effect", Reviews of Modern Physics, 39, no. 2, p. 475, 1967.
2. Chow, WW et al. "The ring laser gyro", Reviews of Modern Physics, 57, no. 1, p. 61, 1985.