Лін е йное преобразів а ня змінних x1, x2, ..., xn - заміна цих змінних на нові x'1, x'2, ..., x'n, через які первинні змінні виражаються лінійно, т. Е. По формулами:

x1 = a11x'1 + a12x'2 + ... + annx'n + b1,

x2 = a21x'1 + a22x'2 + ... + a2nx'n + b2,

...

xn = an1x'1 + an2x'2 + ... + annx'n + bn,

тут aij і bi (i, j = 1,2, ..., n) - довільні числові коефіцієнти. Якщо b1, b2, ..., bn всі рівні нулю, то Л. п. Змінних називають однорідним.

Найпростішим прикладом Л. п. Змінних можуть служити формули перетворення прямокутних координат на площині

х = x 'cos a - y' sin a + a,

у = x 'sin a + y' cos a + b.

якщо визначник D = ½ aij ½, складений з коефіцієнтів при змінних, не дорівнює нулю, то можна і нові змінні x'1, x'2, ..., x'n лінійно виразити через старі. Наприклад, для формул перетворення прямокутних координат

і

x '= x cos a + ysin a + a1

y '= -x sin a + cos a + b1

де a1 = - a cos a - b sin a, b2 = a sin a - b cos (. Іншими прикладами Л. п. змінних можуть служити перетворення афінних і однорідних проектних координат, заміна змінних при перетворенні квадратичних форм і т. п.

Л. п. Векторів (або Л. п. векторного простору ) Називають закон, за яким вектору х з n мірного простору ставлять у відповідність новий вектор x ', координати якого лінійно і однорідно виражаються через координати вектора х:

x'1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn

x'2 = a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn

...

x'n = an1x1 + an2x2 + ... + annxn,

або коротко

x '= Ax.

Наприклад, операція проектування на одну з координатних площин (нехай на площину хОу) буде Л. п. Тривимірного векторного простору: кожному вектору а з координатами х, у, z зіставляється новий вектор b, координати x ', y'., Z 'якого виражаються через х, у, z таким чином: x '= х, y' = у, z '= 0. Приклад Л. п. площині - поворот її на кут a навколо початку координат. матрицю

,

складену з коефіцієнтів Л. п. А, називають його матрицею. Матрицями наведених вище Л. п. Проектування і повороту будуть відповідно

і .

Л. п. Векторного простору можна визначити (як зазвичай надходять) без використання системи координат: відповідність х ® в = Ax називають Л. п., Якщо виконуються умови А (х + у) = Ax + Ау і A (a x) = a А (х) для будь-яких векторів х і у і будь-якого числа a. У різних системах координат одному і тому ж Л. п. Відповідатимуть різні матриці і, отже, різні формули для перетворення координат.

До Л. п. Відноситься, зокрема, нульове Л. п. Про, що переводить всі вектори в 0 (нульовий вектор): Ox = 0 і одиничне Л. п. Е, що залишає всі вектори без зміни: Ex = х; цим Л. і. в будь-якій системі координат відповідають нульова і одинична матриці.

Для Л. п. Векторного простору природним чином визначаються операції додавання і множення: сумою двох Л. п. А та В називають Л. п. З, що переводить будь-який вектор х у вектор Cx = Ax + Вх; твором Л. п. А та В називають результат їх послідовного застосування: З = AB, якщо Cx = А (В х).

В силу цих визначень сукупність всіх Л. п. Векторного простору утворює кільце . Матриця суми (твори) Л. п. Дорівнює сумі (твору) матриць Л. п. Доданків (співмножників); при цьому істотний порядок множників, оскільки твір Л. і., як і матриць, не володіє властивістю коммутативности . Л. п. Можна також множити на числа: якщо Л. п. А переводить вектор х у вектор в = Ax, то a А переводить х в a в. Приклади операцій над Л. п .: 1) Нехай А і В означають операції проектування па осі Ox і Оу в тривимірному просторі; А + В буде проектуванням на площину хОу, а AB = 0. 2) А і В - повороти площині навколо початку координат на кути j і ; AB буде поворотом на кут j + . 3) Твір одиничного Л. п. Е на число a буде перетворенням подібності з коефіцієнтом розтягування (або стискування) a.

Л. п. В називають зворотним до Л. п. А (і позначають А -1), якщо BA = Е (або AB = Е). Якщо Л. п. А переводило вектор х у вектор у, то Л. п. А- 1 переводить у назад в х. Л. п., Що володіє зворотним, називають невиродженим; такі Л. п. характеризуються також тим, що визначник їх матриці не дорівнює нулю. Деякі класи Л. п. Заслуговують на особливу згадку. Узагальненням поворотів двовимірних і тривимірних евклідових просторів є ортогональні (або унітарні - в комплексних просторах) Л. п. Ортогональні Л. п. Не змінюють довжин векторів (а отже, і кутів між ними). Матриці цих Л. п. В ортонормованій системі координат також називаються ортогональними (унітарними): твір ортогональної матриці на її транспоновану дає одиничну матрицю: å kaikajk = å kakiakj = 0 при i ¹ j, å ka2ik = å ka2ki = 1 (в комплексному просторі å kaik jk = å kaki kj = 0, å k | ajk | 2 = å k | aki | 2 = 1). Симетричним (ермітовим, або самосопряженним, - в комплексному просторі) Л. п. Називають таке Л. п., Матриця якого симетрична: aij = aji (або (aij = ij). Симетричні Л. п. Здійснюють розтягування простору з різними коефіцієнтами по дек. взаємно ортогональними напрямками. З симетричними Л. п. Пов'язана теорія квадратичних форм (або ермітових форм в комплексному просторі).

Наведене вище визначення Л. п. У векторному просторі, що не використовує координатну систему, без всяких змін поширюється і на безконечномірні (зокрема, функціональні) простору. Л. п. В нескінченновимірних просторах прийнято називати лінійними операторами .

Літ .: Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії ..., М., 1968; Мальцев А. І., Основи лінійної алгебри, 3 вид., М., 1970; Єфімов Н. В., Розендорн Е. P., Лінійна алгебра і багатовимірна геометрія, М., 1970.