На wired.com недавно з'явилася запис під назвою «Earth's Most Stunning Natural Fractal Patterns». У ній автор зібрав приголомшливі фотографії фракталів, які кожен бажаючий може зустріти в живій природі. І як раз в минулому записи я з легкої руки намагався кілька розчинити кордон між живим і неживим, але тепер розумію, що згадані ілюстрації впоралися б із завданням стократ краще.

І все одно не можу не згадати про Бенуа Мандельброта. Його книгу, назва якої рівносильно заголовку поста, я читав років п'ять тому. Мало що залишилося в голові, але пам'ятаю, що Мандельброту вдалося буквально за руку провести читача в особі мене по дорозі, яка привела до відкриття такого неймовірного математичного об'єкта як фрактал. Дорога була досить хитромудрої: добре відомі і шановані платоновские тіла відмовлялися адекватно описувати навколишній світ. Звичайно, з часів античності ніхто і не намагався в природі знайти, наприклад, ідеальний коло, але як виявилося ступінь не ідеальності сильно не дооцінювати. Все йшло до того, що світом керує не безперервність, а самоподоба. А в 1875 році якийсь Дюбуа-Реймон підлив масла у вогонь, повідомивши всьому світу про безперервну недиференційованої функції, побудованої Вейерштрассом.

Мандельброт починає свою книгу з питання «чому геометрію часто називають" холодної "та" сухий "». І відразу ж відповідає: «одна з причин - її нездатність описати форму хмари, гори, дерева або берегової лінії. Хмари не є сферами, гори - конусами, берегові лінії не можна зобразити за допомогою кіл, кору дерев не назвеш гладкою, а шлях блискавки - прямолінійним ».

Це все і змусило Мандельброта створити нову фрактальну геометрію природи. «Термін фрактал я утворив від латинського причастя fractus. Відповідний дієслово frangere перекладається як ламати, розламувати, тобто створювати фрагменти неправильної форми ». Фрактали унікальні тим, що мають дробову метричну розмірність, яка називається ще розмірністю Хаусдорфа і визначається особливим чином. Наприклад, розмірність кривої Коха можна порахувати виходячи з самої процедури побудови: кожна пряма ділиться на три рівних відрізка, середній відрізок замінюється правильним трикутником без підстави. Іншими словами первісна пряма замінюється чотирма новими, при цьому кожна з них в три рази коротше початкової. Якщо взяти відношення логаріфмоветіх двох чисел, то вийде . Таким чином, розмірність кривої Коха по Хаусдорфу становить 1,26. Все просто.

Фрактали є улюбленою темою безлічі популярних журналів. Стандартний шаблон: визначення фракталів, їх види, а між справою - барвисті ілюстрації самих расстандартних представників: сніжинки Коха, кривої Гільберта-Пеано і, звичайно ж, фрактала Мандельброта. Іноді складається відчуття, і не тільки в мене, що лікнеп по фракталам - це такий собі науковий lorem ipsum, який, як відомо, активно використовується в зразках верстки (їм заповнюють вакантне текстове простір). На цьому тлі книга Мандельброта лише виграє, вона дійсно цікава.

П'ята глава книги починається знову ж з питання «яка протяжність узбережжя Британії». Питання не пусте. Подібна інформація є альфою і омегою довідників по географії. А потім земля була і є чи не найбільш цінним ресурсом, яким володіє та чи інша держава. Але не можна ж цінувати й оцінювати те, що не маєш можливості достовірно ізмеріть.Мандельброт пропонує розглянути ділянку якогось берега. «Очевидно, що його довжина не може бути менше відстані по прямій між його початковим і кінцевим пунктом. Однак, як правило, берегові лінії мають неправильну форму - вони звивисті й зламані, і їх довжини, поза всяким сумнівом, значно перевищують відстані між їх крайніми точками, виміряні по прямій ».

Справді, і без всяких великих умів зрозуміло, що завдання далеко не тривіальна. Можна прийняти виклик Мандельброта і спробувати оцінити протяжність берегової лінії Великобританії за допомогою Google Maps. Для цього потрібно відкрити карту острова і сместітьползунок масштабу на 1/3 від мінуса. При такому наближенні добре помітна асиметрія в ступеня поцятковані між східною і західною частинами. Для східного узбережжя крок обходу в 0,5 сантиметра був би цілком розумним, тоді як західна частина вимагає більш тонкого підходу, тобто обходу. Але якщо змістити повзунок ще на 1/3, то яка вкрита одночасно вирівняється і зросте: погляду відкриється безліч нових дрібних деталей. Такі справи. Виходить, на кожному рівні ми можемо вибрати раціональний крок обходу, але при деталізації виявляються все нові і нові щербини, вигини і звивини. «Який би метод вимірювання ми не застосовували, результат завжди однаковий: довжина типового узбережжя дуже велика і настільки нечітко визначена, що зручніше за все вважати її нескінченною».

Мандельброт з одного боку прав, а з іншого - явно махнув зайвого. Вважати довжину узбережжя звичайно можна нескінченною, але це абсолютно марно і не має ніякої практичної цінності. Та й нескінченна вона? Вбачається, що ні. Адже по досягненню рівня кристалічної решітки далі йти вже нікуди. На цьому рівні можна зупинитися, взяти відповідний вимірювальний інструмент і почати кропітку підрахунок. Величина скоріше за все виявиться астрономічний, але точно не нескінченною.

Виходить, що в загальному випадку довжина узбережжя є функцією кроку, при цьому її значення монотонно зростає зі зменшенням аргументу. «Отже, якщо кому-небудь заманеться порівняти різні береги з точки зору їх протяжності, йому доведеться підшукати щось натомість поняття довжини, яке до даного випадку не застосовується». Як вихід, в географічні довідники можна вносити разом з протяжністю значення кроків, які брали за основу при вимірах. Але такий підхід напевно внесе плутанину і сум'яття. Різні видання безумовно будуть використовувати різні значення кроків, що рано чи пізно призведе до когнітивної катастрофи, хоча б тому що не існує методу перетворення даної довжини з кроком x в довжину з кроком y.

«Річардсон наводить такий приклад: в іспанських і португальських енциклопедіях наводиться різна довжина сухопутного кордону між цими країнами, причому різниця становить 20% (так само йде справа з кордоном між Бельгією та Нідерландами). Ця невідповідність, мабуть, частково пояснюється різним вибором ɛ [кроку]. Емпіричні дані показують, що для виникнення такої різниці досить, щоб одне значення ɛ відрізнялося від іншого всього лише в два рази; крім того, немає нічого дивного в тому, що маленька країна (Португалія) вимірює довжину своїх кордонів більш ретельно, ніж її великий сусід ».

Далі в своїй книзі Мандельброт приходить до чудового висновку: берегова лінія є не спрямляются кривої. Це такі криві, довжини яких не спрямовуються до певної межі при зменшенні кроку. Евклідовой криві в свою чергу є спрямляются, наприклад, окружність можна довго і нудно апроксимувати многоугольником, але сумарна довжина граней все одно в підсумку виявиться рівною . Мандельброт пропонує називати берегові лінії і подібні їй фрактальними кривими. Очевидно, їх розмірність більше 1 і є дробової.

Така історія. Мені вона запам'яталася і сподобалася більше за інших. Але не можна, не можна писати про Мандельброта, і не написати про його однойменний фрактал. Фрактал Мандельброта, на мою думку, мав би стати одним з наукових символів 20 століття: поруч з подвійною спіраллю ДНК і знімком Землі з поверхні Місяця. У будь-якому випадку він являє собою приклад яскравої математичної самодостатності і краси. Платон свого часу відкрив тіла, які існує незалежно від фізичного світу, і назвав їх своїм іменем. Але в порівнянні з Мандельброт його відкриття мізерно.

Пенроуз в «Новому голові короля» пропонував вирушити в чудовий світ під назвою Тор`Блед-Нам. Читача він посадив на корабель з потужною телеметричної камерою. Спочатку вона вихопила з простору якусь контрастну пляму зі зламаними променями, які відходили в різні боки від неї. При наближенні межа плями початку обзаводиться новими деталями, а промені перетворюватися в барвисті світи ... З тих пір пройшло багато років, а корабель без сумнівів продовжує занурюватися в глибини того химерного світу, при цьому його пасажири за кожним вигином виявляють все нові і нові деталі. Звичайно, ви здогадалися, що дало назву цьому світу. А якщо немає, згадайте Стівена Кінга, його книгу «Сяйво» і REDRUM.

Факт існування фрактала Мандельброта наштовхує на цікаві роздуми, якщо спробувати його представити як Всесвіт, подібної до нашої, зі своєю власною історією. Аналогій виникає ціла безліч. Згідно космологічним уявленням спостережувану всесвіт можна вважати такою ж річчю в собі, квантової флуктуацией, час існування якої обернено пропорційно її енергії. Великий вибух породив простір-час, додав речовини імпульс і ось вже 13,7 мільярдів років воно рівномірно заповнює поверхню сфери, яка невблаганно розширюється. У свою чергу, все найцікавіше у всесвіті фрактала Мандельброта також знаходиться на кордоні кола. Якщо наш всесвіт почати деталізувати, то, як мінімум потрібно буде пройти шлях від галактик до субатомних частинок. Людина ще не давав імена структурам під фрактале Мандельброта, але ніщо і ніхто не забороняє перші протуберанці, назвати, наприклад, галактиками, зануриться в них, виявити свої зірки, а навколо них планети зі своїми фрактальними жителями. Єдина істотна відмінність: світ фрактала нескінченний в глибину, але хіба глибина нашого світу закінчується на кварках, про які ніхто не здогадувався ще на початку минулого століття? Вчені давно вже марять теорією всього, такої формули, яка б описувала взаємодії всіх відомих частинок. У всесвіті фрактала Мандельброта теорія всього прекрасно відома і гранично лаконічна: .

Я починав цей пост з посилання на добірку живих фракталів. Але вже зараз вони не здаються мені настільки унікальними. В ході своїх нетривалих блукань в Google Maps я натрапив на міріади фрактальний образів: турбулентності в прибережних зонах, витіюваті канали річок, розсипи скель ... Вистачить і декількох годин, щоб створити свою власну галерею живих і не дуже фракталів. І мені бачиться, що фрактальна геометрія в майбутньому дозволить вирішити одну вкрай важливу проблему, яку я підняв в минулому записи.