Асп. Баглей С.Г., проф. Воронін П.А.

Кафедра теоретичної електротехніки та електричних машин.

Північно-Кавказький державний технологічний університет

Зроблено висновок нелінійної системи диференціальних рівнянь в приватних похідних для розрахунку тиску і швидкості руху повітря по воздуховодам при його нестационарном квадратичном русі. При цьому використані: формула Дарсі-Вейсбаха - формула втрат тиску на тертя; другий закон Ньютона для визначення інерційних втрат тиску і рівняння нерозривності руху потоку повітря. Наведено приклад розрахунку несталого витрати повітря в короткому повітроводі при подачі на його вхід постійного тиску.

Перехідні процеси руху повітря в трубопроводах можуть тривати відносно довго і суттєво впливати на роботу вентиляційної установки, особливо на роботу електродвигуна. Особливе значення мають перехідні процеси повітряного потоку в гірничих виробках і трубопроводах, в яких час поширення звуку від одного кінця до іншого значно більше часу пуску двигуна вентилятора або часу відкриття засувки.

Завдання справжніх досліджень полягає в тому, щоб дати методику отримання диференціальних рівнянь руху повітря по трубопроводах, зручних для практичного їх вирішення.

Вперше зв'язок між втратами напору на тертя і середньої по перетину воздуховода швидкістю (або витратою повітря) виявлено в XVIII в., Коли була отримана формула Дарсі - Вейсбаха [1, стор.170; 2, стор.130].

Втрата тиску на тертя при русі повітря по трубах за формулою Дарсі - Вейсбаха має вигляд:

(1)

де Δ - позначення різниці; р - тиск (Па = Н / м2) [3]; - коефіцієнт гідродинамічного тертя (б / р) [1]; D - внутрішній діаметр труби (м); v - середня за поперечним перерізом воздухопровода швидкість руху повітря (м / с); - об'ємна вага повітря (Н / м3) при тиску навколишнього середовища [1, 3]; - прискорення сили тяжіння (м / с2); Δх - довжина ділянки воздуховода (м).

Для перетворення рівняння (1) врахуємо наступне. Об'ємна вага повітря (питома вага) (Н / м3) виражається формулою [3]:

(2)

де - щільність повітря (кг / м3) при тиску навколишнього середовища [3]. Співвідношення між гідравлічним радіусом Rг і діаметром D круглої труби має вигляд:

(3)

де S - площа поперечного перерізу повітропроводу (потоку) (м2),

χ - змочений периметр воздуховода (м).

Мал. 1. Конструктивна схема воздуховода. умови рівноваги

тисків (а) і швидкостей (б) на нескінченно малій ділянці

воздуховода довжиною d x.

У формулі (1) спрямуємо довжину труби Δх до нескінченно малої величини dx. Тоді отримаємо диференціал втрат тиску. Крім цього, підставами в цей вислів значення формул (2) і (3). В результаті отримаємо вираз втрат тиску на тертя на нескінченно малій ділянці воздуховода (рис.1, а), т. Е.

(4)

Тут тиск р (x, t) і швидкість v (x, t) є функціями двох змінних - відстані від початку воздуховода до розглянутого перетину його (х) і часу від початку перехідних процесів до розглянутого моменту (t).

При несталому русі повітря в повітроводах існують і інерційні втрати тиску. За другим законом Ньютона [4] інерційні втрати тиску на нескінченно малій довжині воздуховода виражаються наступним диференціалом (рис.1, а):

(5)

У відповідності до розділу рівноваги тисків на кордонах нескінченно малого ділянки воздуховода dx (рис.1, а) можна записати

(6)

Однакові складові в лівій і в правій частинах рівності (6) взаємно знищуються. Підставивши у вираз (6) формули (4) і (5), після скорочення на dx отримав перший диференціальне рівняння для розрахунку несталого руху повітря по воздуховодам, виражене через тиск і швидкість руху повітря, а саме:

(7)

У систему диференціальних рівнянь розрахунку невстановлених процесів при русі повітря по трубах крім рівняння (7) має входити і рівняння нерозривності потоку. Розгорнуте диференціальне рівняння нерозривності [4, 5] при русі повітря по трубах має наступний вигляд:

(8)

У своїх дослідженнях І.А.Чарний [6] показав, що для крапельної рідини останній доданок лівої частини рівності рівняння (8) являє собою величину другого порядку малості. Тому цим доданком слід нехтувати. Крім того, І.А.Чарний довів, що повітря за своїми аеродинамічними властивостями відноситься до крапельним рідин. З цим перегукується і висновок Л.І. Сєдова [5] про те, що є фізичні характеристики, що залишаються під час руху постійними в індивідуальному обсязі суцільного середовища.

У світлі вищесказаного диференціальне рівняння нерозривності потоку повітря в вентиляційних повітроводах має наступний вигляд:

(9)

Рівняння рівноваги швидкостей на кордонах нескінченно малої довжини dx як зазначено на рис.1, б має вигляд:

(10)

Після взаємного знищення однакових доданків, що стоять в лівій і в правій частинах рівності (10), отримаємо вираз диференціала швидкості повітря, т. Е.

(11)

Підставивши вираз (9) в формулу (11), отримаємо значення диференціала швидкості на нескінченно малій довжині воздуховода:

(12)

У рівнянні нерозривності (9) знак мінус вказує на те, що на нескінченно малій ділянці dx відбувається зменшення швидкості при зміні щільності повітря. А це для щільних повітропроводів позначає, що рівняння (9) висловлює собою і стиснення повітря.

Перетворимо диференціальне рівняння (9). Відомо, що швидкість звуку с (м / с) при ізотермічному процесі поширення обурення в повітрі має вираз [4]:

(13)

де р - тиск (Па), ρ - щільність повітря (кг / м3).

Приватний диференціал щільності повітря, виходячи з виразу (13), підставимо в формулу (9). В результаті отримаємо рівняння нерозривності в наступному вигляді:

(14)

Це і є друга диференціальне рівняння несталого руху повітря по рудниковим воздуховодам.

Зазвичай рівняння (7) і (14) записують у вигляді однієї системи рівнянь. В результаті виходить система диференціальних рівнянь в приватних похідних другого порядку, що описує перехідні процеси в повітряних потоках рудничних повітропроводів, а саме:

(15)

Така ж система рівнянь, але іншим шляхом була отримана І.А. Чарні [6]. Ця система диференціальних рівнянь є нелінійної, так як в першому рівнянні залежна змінна - швидкість - варто в квадраті. Рішення такої системи диференціальних рівнянь важко. Тому І.А. Чарний [6] запропонував линеаризовать в першому рівнянні перший доданок в правій частині рівності (15). Він запропонував вважати постійним середнє значення по довжині воздуховода і час наступного коефіцієнта:

(16)

де 2а - лінеаризоване коефіцієнт аеродинамічного опору (1 / с) [6], λ - коефіцієнт тертя повітря (б / р), v - середня по перерізу і за часом швидкість руху повітря в даному поперечному перерізі воздуховода під час перехідного процесу (м / с), Rг - гідравлічний радіус воздуховода (м).

При русі повітря з квадратичним законом опору будують графік - квадратичну параболу в функції швидкості v (рис.2), на якому вибирають ділянку кривої, обмежений граничними швидкостями руху повітря під час перехідного процесу.

Рис.2. Графіки для визначення лінеаризованого коефіцієнта аеродинамічного опору (2а). v1 - найменша і v2 - найбільша швидкості руху повітря під час перехідного процесу.

Квадратична парабола описується формулою відповідно до першого рівнянням і перших складових правій частині рівності системи рівнянь (15), т. Е.

(17)

Потім з початку координат проводять пряму лінію теж в функції швидкості v так, щоб вона перетнулася з параболою в проміжку між граничними швидкостями перехідного процесу v1 і v2 (див. Рис.2). При цьому площі, обмежені між параболою і прямий з обох сторін від перетину в проміжку між граничними швидкостями, повинні бути рівні. Ця пряма лінія являє собою лінеаризоване закон опору руху повітря, еквівалентний квадратичним законом. Рівняння цієї прямої лінії має вигляд:

(18)

де 2а - лінеаризоване коефіцієнт аеродинамічного опору [формула (16)], але його чисельне значення поки не відомо.

Значення цього коефіцієнта визначимо з умови рівності площ, укладених між вертикальними лініями граничних швидкостей, між віссю абсцис і параболою (площа, обмежена контуром aABba) і між віссю абсцис і прямою лінією (площа, обмежена контуром aαβba). Площа, обмежена параболою (площа, обмежена контуром аАВba, рис.2), дорівнює:

(19)

Площа, обмежена прямою лінією (площа, обмежена контуром aαβba, рис.2), дорівнює:

(20)

За умовою площі, описувані формулами (19) і (20), рівні. Прирівняємо їх. Різниця квадратів величин і різниця кубів величин розкладемо на множники. Потім однакові множники зліва і праворуч від рівності скоротимо. Проробимо ці викладки.

(21)

Звідси визначимо лінеаризоване коефіцієнт аеродинамічного опору, еквівалентний аеродинамічному опору при квадратичному законі руху повітря, а саме:

(22)

Формули (16) і (22) є еквівалентними. З порівняння цих формул слід середнє інтегральне значення швидкості, що визначає лінійний режим аеродинамічного опору, при зміні цієї швидкості від v1 до v2, тобто

(23)

Підставами значення 2а з формул (16) і (22) в систему рівнянь (15). В результаті отримаємо линеаризировать систему диференціальних рівнянь, що описує перехідні процеси повітря в повітроводах і виражену через тиск і швидкість руху повітря, т. Е.

(24)

Для аналізу перехідних процесів при русі повітря в повітроводах систему рівнянь (24) слід висловити через витрата повітря в даному поперечному перерізі S. Для цього кожний доданок цієї системи рівнянь, що містить швидкість руху повітря, помножимо і розділимо на площу поперечного воздуховода. Тоді твір швидкості руху повітря на площу поперечного перерізу воздуховода буде являти собою витрата повітря (м3 / с) в даному поперечному перерізі, т. Е.

(25)

При цьому система рівнянь (24) тоді буде представляти собою лінеаризовану систему рівнянь для розрахунку перехідних процесів повітря в повітроводах при квадратичному законі тертя повітря, т. Е.

(26)

Ця система рівнянь була отримана І.А. Чарні в його книзі [6], але тільки іншим шляхом.

Перше рівняння системи (26) враховує як аеродинамічний опір руху повітря, так і його інерційні властивості. Кожен член цього рівняння являє собою силу, що припадає на один кубометр рухомого повітря (Н / м3).

Друге рівняння системи (26) враховує стисливість повітря; коефіцієнт ρс2, що має розмірність Н / м2, характеризує пружні властивості повітря і являє собою його модуль пружності.

Кожен коефіцієнт системи (26), стоїть перед залежною змінною, має свій фізичний зміст і свою назву в технічній літературі, а саме:

2аρ / S - лінеаризоване аеродинамічний опір, що припадає на одиницю довжини воздуховода, чисельно дорівнює тиску, необхідного для створення одиниці швидкості одному кубометру повітря в стаціонарному режимі, ;

ρ / S - коефіцієнт, що враховує інерційність повітря, чисельно рівний тиску, необхідного для створення одиниці прискорення одному кубометру повітря, , Іноді цей коефіцієнт називають акустичної масою або інерційністю [7];

S / (ρc2) - коефіцієнт, що враховує стисливість повітря, чисельно дорівнює кількості повітря, яке необхідно стиснути для створення одиниці тиску на одному метрі довжини воздуховода, , Іноді цей коефіцієнт називають акустичної гнучкістю або піддатливість [7].

Виведену систему диференціальних рівнянь (26) можна перетворити в одне рівняння, виключивши одну з залежних змінних (витрата або тиск). В результаті вийде диференціальне рівняння в приватних похідних другого порядку. Такі диференціальні рівняння називаються хвильовими. В результаті їх вирішення виходить, що під час перехідного процесу при розповсюдженні хвилі витрата повітря є різним уздовж воздуховода в один і той же момент часу. В цьому випадку воздуховод слід називати довгим воздуховодом. Але можливе існування воздуховода невеликої довжини, при якій витрата повітря по довжині воздуховода залишається практично одним і тим же в один і той же момент часу. Повітроводи такої протяжності слід називати короткими повітроводами.

Оскільки витрата повітря в коротких повітроводах уздовж його довжини не змінюється, то похідна від витрати повітря по відстані уздовж осі воздуховода дорівнює нулю. А це свідчить про те, що друге рівняння системи (26), що позначає стисливість повітря, зникає. Повітря в таких повітроводах стає хоч як мене стисливим. Отже, в коротких повітроводах перехідний процес руху повітря описується лише одним першим рівнянням системи (26).

Приклад. Розрахуємо перехідний процес руху повітря в короткому трубопроводі. Для цього використовуємо тільки перше рівняння системи (26), так як друге рівняння для коротких повітроводів звертається в нуль. При цьому витрата повітря не залежить від довжини тому, що через несжимаемости повітря в коротких повітроводах він по всій довжині трубопроводу не змінюється. Тому приватні похідні в першому рівнянні системи (26) можна замінити на звичайні. Розрахунок проведемо в операторної формі у вигляді інтегрального перетворення Лапласа - Карсона [8]. Після розділення змінних це рівняння матиме такий вигляд:

(27)

де - оператор Лапласа - Карсона ( - уявна одиниця), Q (q) - витрата повітря в операторної формі (він не залежить від відстані по осі воздуховода), р (x, q) - тиск в операторної формі (воно є також і функцією відстані по осі воздуховода). Решта умовні позначення були приведені раніше.

Проинтегрировав ліву і праву частини цього рівняння, отримаємо формулу зміни тиску повітря уздовж трубопроводу, до того ж, в операторної формі, т. Е.

(28)

Постійну інтегрування А визначимо з граничних умов на кінці воздуховода: при x = L тиск p (L, q) = 0. Тоді для цього випадку рівняння (28) буде мати вигляд:

звідки постійна інтегрування

(29)

Підставивши значення А в формулу (28), отримаємо вираз розподілу операційного тиску повітря в трубопроводі в функції відстані від початку воздуховода, т. Е.

(30)

Звідси випливає, що тиск повітря уздовж короткого трубопроводу розподіляється за лінійним законом, так як для коротких трубопроводів повітря є нестисливим. У цьому випадку тиск уздовж трубопроводу розподіляється так само, як і в стаціонарному режимі.

Перепишемо вираз (30) для початкового перетину воздуховода (х = 0). При цьому врахуємо, що на вхід воздуховода стрибком подається постійний тиск ро = constant. У операторної формі Лапласа - Карсона це тиск має вираз: p (0, q) = po. Після підстановки в вираз (30) зазначених значень величин і після перетворень отримаємо формулу операційного витрати повітря в початковому перерізі воздуховода, т. Е.

(31)

Застосуємо до операторному висловом (31) зворотне перетворення Лапласа - Карсона [8, формула 21.3]. Тоді отримаємо вираз витрати повітря в функції часу (t) в початковому перетині короткого воздуховода, а значить і витрати повітря протягом усього трубопроводу, т. Е.

(32)

де Rаер = 2аρL / S - лінеаризоване аеродинамічний опір короткого воздуховода довжиною L [(1 / c) ∙ (кг / м3) ∙ (м / м2) = = (кг ∙ м / с2) ∙ (с / М5) = Н ∙ с / М5].

Формулу (32) можна записати у відносних одиницях (в безрозмірному вигляді), а саме:

(33)

Графік витрати повітря в відносних одиницях, формула (33), показаний на рис.3.

Рис.3. Графік зміни в часі витрати повітря по довжині

короткого трубопроводу. Q * (t) - витрата повітря в відносних

одиницях, 2at - безрозмірний час.

Витрата повітря, позначений графіком на рис. 3, є одним і тим же по всій довжині короткого воздуховода. Графік розподілу тиску по довжині короткого воздуховода в наведеному прикладі в часі не змінюється. Тиск по довжині короткого воздуховода від його початку до кінця розподіляється за лінійним законом. Найбільше постійне в часі значення тиску знаходиться на початку воздуховода; а тиск, що дорівнює нулю, - на кінці воздуховода.

Висновок. Для того щоб отримати (з нелінійної системи диференціальних рівнянь в приватних похідних) лінійну систему рівнянь, здійснена лінеаризація формули Дарсі - Вейсбаха. При цьому використано рівність площ

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.skgtu.ru/

Дата додавання: 04.06.2009