1. Головна онлайн підручники База репетиторів Росії Тренажери з математики Підготовка до ЄДІ 2017 онлайн

Головна онлайн підручники База репетиторів Росії Тренажери з математики Підготовка до ЄДІ 2017 онлайн

Глава 16. Введення в математичну логіку

16.3. Твердження в математиці

В математиці ми маємо справу з різними твердженнями, наприклад,

A ≡ {число 100 ділиться на 4};
B ≡ {через дві точки можна провести дві прямі};
C ≡ {число 0,00000001 дуже мало}.

Щодо одних тверджень можна сказати, що в них йдеться щось правильне, щодо інших - стверджується щось неправильне. Наприклад, твердження A - вірне, твердження B - невірне. Щодо затвердження C не можна сказати, є воно вірним чи ні, так як воно не має точного сенсу.

Твердження, яке є вірним, називається істинним.

Твердження, яке є невірним, називається помилковим.

Висловлюванням називається будь-яке твердження, про який можна сказати, істинно воно або помилково.

З визначення 16.14 випливає

Будь-яке висловлювання є або істинним, або хибним (закон виключеного третього).

Ніяке висловлювання не може бути одночасно істинним і хибним (закон протиріччя).

Пропозиція, про який неможливо однозначно вирішити питання, істинно воно або помилково, висловлюванням не є.

На безлічі висловлювань можна ввести операції, що дозволяють утворювати нові висловлювання. Наприклад, якщо задано два висловлювання A {зараз сонячно} і B {зараз вітряно}, то за допомогою зв'язок «і», «або», «якщо ..., то ...», «або ..., або. .. »,« тоді і тільки тоді, коли »,« невірно, що »можна утворити нові висловлювання виду: {зараз сонячно і вітряно}, {зараз сонячно або вітряно}, {якщо зараз сонячно, то зараз вітряно} і т. д. Такі висловлювання називають складовими, а що входять до них висловлювання A і B - елементарними.

Два складових висловлювання A і B називаються рівносильними, якщо вони одночасно істинними або одночасно хибними при будь-яких припущеннях щодо істинності входять до них елементарних висловлювань. В цьому випадку пишуть A = B.

Запереченням висловлювання A називається висловлювання, яке істинно, коли A помилково, і помилково, якщо A істинно. позначення: Читається: «невірно, що A».

Дане визначення записують за допомогою таблиці істинності, в якій буква «І» означає справжнє висловлювання, а буква «Л» - помилкове.

Наприклад: запереченням висловлювання {через дві точки можна провести дві прямі} є висловлювання {через дві точки можна провести дві прямі}. Запереченням висловлювання {число 37 не ділиться на 2} буде висловлювання {число 37 ділиться на 2}.

Кон'юнкція двох висловлювань A і B називається висловлювання, яке істинно в тому і тільки в тому випадку, якщо істинні обидва висловлювання. позначення: , Читається: «A і B». Таблиця істинності має вигляд:

Наприклад: кон'юнкція висловлювань {3 <8} і {8 <11} є висловлювання {3 <8 <11}. Або, кон'юнкція висловлювань {точка A лежить на прямій a} і {точка A лежить на прямій b} є висловлювання {точка A лежить на прямій a і на прямій b}.

Диз'юнкцією двох висловлювань A і B називається висловлювання, яке помилково тоді і тільки тоді, коли помилкові обидва висловлювання. позначення: , Читається: «A або B». Таблиця істинності має вигляд:

Приклади: диз'юнкція висловлювань

• {3 <8} і {3 = 8} є висловлювання {3 <8 <11};
• {Точка A лежить на прямій a} і {точка A лежить на прямій b} є висловлювання {точка A лежить на прямій a або на прямий b}, де зв'язка "або" не має розділового сенсу. Тобто точка A може лежати або тільки на прямій a, або тільки на прямій b, або ж на прямій a і прямий b одночасно.

Операції диз'юнкції і кон'юнкції комутативні.

Операції диз'юнкції і кон'юнкції асоціативні.

Для будь-яких трьох висловлювань A, B і C справедливі рівності

нехай - істинно. Це можливо, тільки якщо істинні C і а це значить, що C - істинно, а A і B НЕ являються одночасно хибними. Звідси випливає, що істинним є одне з двох висловлювань або тобто - істинно. Далі, якщо - помилково, то C і не є одночасно істинними, тобто або C помилково, або хибно або або помилково C, або хибні одночасно A і B. Звідси одночасно помилкові і тобто помилково Отже, висловлювання щодо визначення рівносильні і справедливо рівність

нехай - істинно. Тоді істинно або C, або тобто або істинно C, або одночасно істинні A і B. У будь-якому випадку тоді істинні і одночасно, а значить, істинно Якщо ж - помилково, то одночасно помилкові і C, і тобто C - помилково, а A і b не є одночасно істинними (або A помилково, або B помилково). Тоді помилково або або тобто - помилково. Звідси

Для будь-яких двох висловлювань A і B справедливі формули де Моргана:

а) Складемо таблиці істинності правої і лівої частин рівності.

Вислів «якщо A, то B» називають импликацией висловлювань A і B, якщо воно помилкове лише в разі, коли A - істинно, а B - помилково. позначення: Таблиця істинності має вигляд:

Висловлення A називають умовою, а B - висновком імплікації.

Для будь-яких двох висловлювань A і B справедливо

Слід з порівняння таблиць істинності:

Наприклад: импликацией висловлювань {100 ділиться на 4} і {100 - парне число} є висловлювання {якщо 100 ділиться на 4, то 100 - парне число}. Імплікація зворотна даної буде тоді такий: {якщо 100 - парне число, то 100 ділиться на 4}. Як ми бачимо, якщо імплікація істинна, то обернена до неї не завжди буде істинною. Протилежної до вихідної буде імплікація {якщо 100 не ділиться на 4, то 100 не є парним числом}.

Див. Доказ властивості 16.14.

Еквіваленціі висловлювань A і B називається висловлювання, яке істинно, коли обидва висловлювання A і B істинні або обидва хибні. позначення: Таблиця істинності має вигляд:

Наприклад: еквіваленціі двох висловлювань {точки A і B лежать в різних півплощинах від прямої a} і {відрізок AB перетинає пряму a} є висловлювання {точки A і B лежать в різних півплощинах від прямої a тоді і тільки тоді, коли відрізок AB перетинає пряму a}.

Нехай пропозицію містить змінну, яка може набувати різних значень, причому підстановка будь-якого із значень змінної перетворює пропозицію в висловлювання. Тоді ця пропозиція називають одномісним предикатом. Безліч X всіх значень змінної x називають областю визначення предиката. Позначення предиката: A (x).

Наприклад: на рис. 16.3.2 зображені точки, з'єднані декількома відрізками. На безлічі X, що складається з точок a, b, c, d, e, f, g (X = {a, b, c, d, e, f, g}), заданий одномісний предикат A (x) = {до точці x в розглянутій фігурі примикають три відрізка}.

1

Малюнок 16.3.1 Нижче наведена таблиця істинності цього предиката: A (a) A (b) A (c) A (d) A (e) A (f) A (g) Л Л І І І Л Л

Безліччю істинності даного предиката, відповідно, буде безліч точок T = {c, d, e}.

Визначення 16.24.

Два предиката A (x) і B (x) називаються еквівалентними, якщо у них збігаються області визначення і безлічі істинності. позначення:

Справедливо а) б)

Так само, як і для висловлювань, на безлічі предикатів можна ввести операції заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації і еквіваленціі. Для цього встановлюють правила, які дозволяють знаходити безліч істинності складного предиката, якщо відомі безлічі істинності складових його елементарних предикатів.

Нехай на множині X задано предикати A (x) і B (x), безлічі істинності яких відповідно і

Визначення 16.26.

Запереченням предиката A (x) називається предикат безліч істинності T якого є доповненням до безлічі T1, тобто T = X \ T1.

У тому випадку, коли імплікація істинна при всіх значеннях з безлічі X, кажуть, що предикат B (x) логічно випливає з предиката A (x), і предикат B (x) називають необхідною умовою для предиката A (x), а предикат A (x) - достатня умова для B (x).

Якщо предикати A (x) і B (x) на множині X еквівалентні, то кожен з них називають необхідною і достатньою умовою для другого.

Наприклад, в імплікації {якщо x - число натуральне, то воно ціле} предикат B (x) = {x - число ціле} логічно випливає з предиката A (x) = {x - число натуральне}. Отже, предикат B (x) є необхідною умовою для предиката A (x), а предикат A (x) - достатнім для B (x). Використовуючи ці терміни, імплікації {якщо число x натуральне, то воно ціле} можна висловити так:

1. Для того щоб число x було натуральним, необхідно, щоб воно було цілим.
2. Для того щоб число x було цілим, досить, щоб воно було натуральним.

Часто доводиться розглядати предикати, в які входить не одна, а дві і більше змінних. Вони називаються в залежності від числа змінних двомісними, тримісними, ..., n-місцевими. Розглянемо, наприклад, такі пропозиції, в яких під x і y розуміють довільні натуральні числа:

Ми нічого не можемо сказати про істинність або хибність цих тверджень, поки не сказано, які значення приймають x і y. Але якщо точно вказано, чому дорівнюють x і y, кожне з сформульованих тверджень перетворюється в висловлювання - для одних пар (x, y) істинне, для інших помилкове. Безліч всіх пар чисел (x, y), для яких даний двомісний предикат є справжнє висловлювання, називається безліччю його істинності.

Наведемо приклади висловлювань, які утворюються із зазначених пропозицій при конкретних значеннях x і y:

• A (1; 3) = {1 <3} - справжнє висловлювання,
• A (2; 2) = {2 <2} - хибне висловлювання,
• A (5; 4) = {5 <4} - хибне висловлювання,
• B (1; 3) = {1 + 3 = 10} - хибне висловлювання,
• B (8; 2) = {8 + 2 = 10} - справжнє висловлювання і т.д.

Колодязь під ключ Пристрій колодязів. Будівництво колодязів і септиків. Колодязі і свердловини kolodec-topas.ru Дивіться також: Математика , Аннглійскій мову , хімія , Біологія , фізика , Географія , Астрономія .
А також: online підготовка до ЄДІ на College.ru, бібліотека ЕОРов і навчальні програми на Multiring.ru.